Applications de la mécanique

Méthodologie de base pour un exercice

1. Lister et représenter les forces
2. Déterminer l’accélération à l’aide de la seconde loi de Newton (PFD)
3. On peut en déduire le travail et l’énergie associés
4. On peut aussi déterminer les équations paramétriques puis l’équation de la trajectoire

Quelques Constantes utilisées en mécanique

Il est inutile de les apprendre par coeur, elles sont rappelées dans les énoncés. Mais il faut les connaétre et savoir à quoi elles correspondent.

c

Célérité de la lumiére dans le vide

$3 \times 10^8 \, m.s^{-1}$

Rt

Rayon de la Terre

$6,38 \times 10^3 \, km$

Mt

Masse de la Terre

$5,98 \times 10^24 \, kg$

g

Intensité du champ de pesanteur terrestre (sur Terre)

$9,8 \, m.s^{-2}$

G

Constante de gravitation universelle (dans l’Espace)

$6,67.10^{-11} \, m.s^{-2}$

k

Constante de raideur d’un ressort

Dépend du ressort, s’exprime en constante $N.m^{-1}$

Chute libre

La chute libre étude le mouvement idéal d’un corps soumis uniquement à son propre poids. Il n’y a pas de force de frottements, ou elles sont volontairement ignorées.

D’aprés la seconde loi de Newton, on a donc une accélération constante : $\vec{a}=\vec{g}$

Equations du mouvements

On peut déduire les équations du mouvement en effectuant des intégrations successives de l’accélération.

$$\vec{a}=\vec{g}$$

$$\vec{v}=\vec{g}.t+\vec{v_0}$$

$$\overrightarrow{OG}=\vec{g}.\frac{t^2}{2}+\vec{v_0}.t+\overrightarrow{OG_0}$$

Equations paramétriques

Les équations paramétriques se déduisent de la méme faéon mais en projetant les coordonnées du mouvement sur les trois composantes de l’espace avec un repére $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Cependant, tous les mouvements qui seront étudiées se font sur un plan (deux composantes maximales à étudier).

Il s’agit au final de trois équations en fonction du temps.

Accélération $a_x=0$ $\qquad a_y=0$ $\qquad a_z=-g$

Vitesse $v_x(t)=0$ $\qquad v_y(t)=0$ $\qquad v_z(t)=-g.t+v_0$

Position $x(t)=0$ $\qquad y(t)=0$ $\qquad z(t)=-g.\frac{t^2}{2}+v_0.t+z_0$

Equation de la trajectoire

On exprime l’une des positions par rapport à une autre.

Mouvement circulaire uniforme d’un satellite

On considére ici un satellite de masse $m$ autour de la Terre. Son mouvement est circulaire et uniforme (vitesse constante)

Repére de Frenet

Le repére de Frenet permet de décomposer un vecteur en deux composantes (tangentiel et normale). Trés utilisé pour les mouvements circulaire uniforme de satellites.

$$\vec{a}=\vec{a_n}+\vec{a_t}$$

$$\vec{a}=\frac{v^2}{r}\vec{n}+\frac{\delta v}{\delta t}$$

$$a=\frac{v^2}{r}$$

Calcul de la vitesse

On utilise (comme toujours) la seconde loi de Newton

$$\overrightarrow{F_{ext}} = m.\vec{a}$$

$$G \frac{m.M_T}{d^2} = m.\frac{v^2}{r}$$

$$v=\sqrt{G.\frac{M_T}{r}}$$

Période de révolution

On a une vitesse constante (car mouvement uniforme) donc : v=distance/période

$2\Pi r$ est le périmétre du cercle (distance)

Mouvement d’un solide avec ressort

Un solide est attaché à un ressort et subi des oscillations avec le mouvement entraîné par celui-ci.

Ressort

Constante de raideur k en $N.m^{-1}$

http://www.chimix.com/an10/bac10/ant01.html

Seconde loi de Newton

$\vec{P}+\vec{F}+\vec{R}=m.\vec{a}$

$\vec{P}$ et $\vec{R}$ s’annulent car l’objet est posé au sol.

$-kx\vec{i}=m.\vec{a}$

Energie

$W = \int kx dx$

$E_p=\frac{1}{2}kx^2$

$E_m=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$

Période propre (si non soumis aux frottements)

$T_0=2\Pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Mouvement d’un pendule

le pendule de Foucault est constitué d’une corde de longueur $l$ oé est attaché un objet de masse $m$.

Pendule de Foucault

$L$ : longueur de la corde

$\theta$ : Angle effectué par le pendule

Seconde loi de Newton

$\vec{P}+\vec{T}=m.\vec{a}$

$m.\vec{g}+\vec{T}=m.\vec{a}$

Energie

$E_p=m.g.L.cos(\theta)$

$E_m=\frac{1}{2}m.v^2+m.g.L.cos(\theta)$

Période propre (si non soumis aux frottements)

$T_0=2\Pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Oscillations

On distingue trois types d’oscillations :

Mouvements périodiques

Pas de frottements, amplitudes stables avec une période propre $T_0$

Mouvements pseudo-périodiques

Peu de frottements, oscillations d’amplitude décroissante de période $T<T_0$

Mouvements apériodiques

Beaucoup de frottements, pas d’oscillations