Applications de la mécanique

Méthodologie de base pour un exercice

  1. Lister et représenter les forces
  2. Déterminer l’accélération à l’aide de la seconde loi de Newton (PFD)
  3. On peut en déduire le travail et l’énergie associés
  4. On peut aussi déterminer les équations paramétriques puis l’équation de la trajectoire

Quelques Constantes utilisées en mécanique

Il est inutile de les apprendre par coeur, elles sont rappelées dans les énoncés. Mais il faut les connaétre et savoir à quoi elles correspondent.

c
Célérité de la lumiére dans le vide
3×108m.s13 \times 10^8 \, m.s^{-1}
Rt
Rayon de la Terre
6,38×103km6,38 \times 10^3 \, km
Mt
Masse de la Terre
5,98×1024kg5,98 \times 10^24 \, kg
g
Intensité du champ de pesanteur terrestre (sur Terre)
9,8m.s29,8 \, m.s^{-2}
G
Constante de gravitation universelle (dans l’Espace)
6,67.1011m.s26,67.10^{-11} \, m.s^{-2}
k
Constante de raideur d’un ressort
Dépend du ressort, s’exprime en constante N.m1N.m^{-1}

Chute libre

La chute libre étude le mouvement idéal d’un corps soumis uniquement à son propre poids. Il n’y a pas de force de frottements, ou elles sont volontairement ignorées.

D’aprés la seconde loi de Newton, on a donc une accélération constante : a=g\vec{a}=\vec{g}

Chute libre

Equations du mouvements
On peut déduire les équations du mouvement en effectuant des intégrations successives de l’accélération.
a=g\vec{a}=\vec{g}
v=g.t+v0\vec{v}=\vec{g}.t+\vec{v_0}
OG=g.t22+v0.t+OG0\overrightarrow{OG}=\vec{g}.\frac{t^2}{2}+\vec{v_0}.t+\overrightarrow{OG_0}
Equations paramétriques
Les équations paramétriques se déduisent de la méme faéon mais en projetant les coordonnées du mouvement sur les trois composantes de l’espace avec un repére (O,i,j,k)(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}). Cependant, tous les mouvements qui seront étudiées se font sur un plan (deux composantes maximales à étudier).
Il s’agit au final de trois équations en fonction du temps.

Accélération ax=0a_x=0 ay=0\qquad a_y=0 az=g\qquad a_z=-g

Vitesse vx(t)=0v_x(t)=0 vy(t)=0\qquad v_y(t)=0 vz(t)=g.t+v0\qquad v_z(t)=-g.t+v_0

Position x(t)=0x(t)=0 y(t)=0\qquad y(t)=0 z(t)=g.t22+v0.t+z0\qquad z(t)=-g.\frac{t^2}{2}+v_0.t+z_0

Equation de la trajectoire
On exprime l’une des positions par rapport à une autre.

Mouvement circulaire uniforme d’un satellite

On considére ici un satellite de masse mm autour de la Terre. Son mouvement est circulaire et uniforme (vitesse constante)

Satellite

Repére de Frenet
Le repére de Frenet permet de décomposer un vecteur en deux composantes (tangentiel et normale). Trés utilisé pour les mouvements circulaire uniforme de satellites.
a=an+at\vec{a}=\vec{a_n}+\vec{a_t}
a=v2rn+δvδt\vec{a}=\frac{v^2}{r}\vec{n}+\frac{\delta v}{\delta t}
a=v2ra=\frac{v^2}{r}
Calcul de la vitesse
On utilise (comme toujours) la seconde loi de Newton
Fext=m.a\overrightarrow{F_{ext}} = m.\vec{a}
Gm.MTd2=m.v2rG \frac{m.M_T}{d^2} = m.\frac{v^2}{r}
v=G.MTrv=\sqrt{G.\frac{M_T}{r}}
Période de révolution
On a une vitesse constante (car mouvement uniforme) donc : v=distance/période
2Πr2\Pi r est le périmétre du cercle (distance)
T=2ΠrvT=\frac{2\Pi r}{v}

Mouvement d’un solide avec ressort

Un solide est attaché à un ressort et subi des oscillations avec le mouvement entraîné par celui-ci.

Ressort

Ressort
Constante de raideur k en N.m1N.m^{-1}

http://www.chimix.com/an10/bac10/ant01.html

Seconde loi de Newton
P+F+R=m.a\vec{P}+\vec{F}+\vec{R}=m.\vec{a}
P\vec{P} et R\vec{R} s’annulent car l’objet est posé au sol.
kxi=m.a-kx\vec{i}=m.\vec{a}
Energie
W=kxdxW = \int kx dx
Ep=12kx2E_p=\frac{1}{2}kx^2
Em=12mv2+12kx2E_m=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2
Période propre (si non soumis aux frottements)
T0=2ΠmkT_0=2\Pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Mouvement d’un pendule

le pendule de Foucault est constitué d’une corde de longueur ll oé est attaché un objet de masse mm.

Pendule de Foucault

Pendule de Foucault
LL : longueur de la corde
θ\theta : Angle effectué par le pendule
Seconde loi de Newton
P+T=m.a\vec{P}+\vec{T}=m.\vec{a}
m.g+T=m.am.\vec{g}+\vec{T}=m.\vec{a}
Energie
Ep=m.g.L.cos(θ)E_p=m.g.L.cos(\theta)
Em=12m.v2+m.g.L.cos(θ)E_m=\frac{1}{2}m.v^2+m.g.L.cos(\theta)
Période propre (si non soumis aux frottements)
T0=2ΠLgT_0=2\Pi\sqrt{\frac{L}{g}}

Oscillations

On distingue trois types d’oscillations :

Mouvements périodiques
Pas de frottements, amplitudes stables avec une période propre T0T_0
Oscillations périodiques
Mouvements pseudo-périodiques
Peu de frottements, oscillations d’amplitude décroissante de période T<T0T<T_0
Oscillations pseudo-périodiques
Mouvements apériodiques
Beaucoup de frottements, pas d’oscillations
Oscillations apériodiques