Calculs
Développer/Fractionner
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a²+2ab+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2=a²-2ab+b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a+b)(a-b)=a^2-b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2
Argument
La fonction argument pour les angles trigonométriques fonctionne comme un logarithme
a r g ( x n ) = n . a r g ( x ) arg(x^n)=n.arg(x) a r g ( x n ) = n . a r g ( x )
a r g ( x y ) = a r g ( x ) + a r g ( y ) arg(xy)=arg(x)+arg(y) a r g ( x y ) = a r g ( x ) + a r g ( y )
a r g ( x y ) = a r g ( x ) − a r g ( y ) arg(\frac{x}{y}) = arg(x) - arg(y) a r g ( y x ) = a r g ( x ) − a r g ( y )
Géométrie
Figure Aire Disque π × r 2 \pi \times r^2 π × r 2 Carré c 2 c^2 c 2 Rectangle L × l L \times l L × l Parrallélogramme b a s e × h a u t e u r base \times hauteur ba se × ha u t e u r Triangle b a s e × h a u t e u r 2 \displaystyle{\frac{base \times hauteur}{2}} 2 ba se × ha u t e u r Losange d i a g o n a l e 1 × d i a g o n a l e 2 2 \displaystyle{\frac{diagonale1 \times diagonale2}{2}} 2 d ia g o na l e 1 × d ia g o na l e 2 Trapèze ( g r a n d e B a s e + p e t i t e B a s e ) × h a u t e u r 2 \displaystyle{\frac{(grandeBase + petiteBase) \times hauteur}{2}} 2 ( g r an d e B a se + p e t i t e B a se ) × ha u t e u r
Cas du cercle
Périmètre d’un cercle 2 π r 2\pi r 2 π r
Aire d’un disque π r 2 \pi r^2 π r 2
Volume d’une sphère 4 3 π r 3 \frac{4}{3}\pi r^3 3 4 π r 3
Fonctions
Dérivées
L’ensemble de dérivabilité correspond à l’intervalle de définition de la fonction d’origine, auquel on retire les valeurs impossibles de la dérivée.
Fonction Dérivée Ensemble de définition / dérivabilité k k k 0 R \mathbb{R} R x x x 1 R \mathbb{R} R x 2 x^2 x 2 2x R \mathbb{R} R x \sqrt{x} x 1 2 x \displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}} 2 x 1 R _ + \mathbb{R}\_+ R _ + / R + ∗ \mathbb{R}_+^* R + ∗ x n x^n x n n x n − 1 nx^{n-1} n x n − 1 R \mathbb{R} R 1 x \displaystyle{\frac{1}{x}} x 1 − 1 x 2 \displaystyle{-\frac{1}{x^2}} − x 2 1 R ∗ \mathbb{R}^* R ∗ 1 x n \displaystyle{\frac{1}{x^n}} x n 1 − n x n + 1 \displaystyle{-\frac{n}{x^{n+1}}} − x n + 1 n R ∗ \mathbb{R}^* R ∗ l n ∥ x ∥ ln \|x\| l n ∥ x ∥ 1 x \displaystyle{\frac{1}{x}} x 1 R ∗ \mathbb{R}^* R ∗ e x e^x e x e x e^x e x R \mathbb{R} R a x a^x a x a x l n ( a ) a^x ln(a) a x l n ( a ) R \mathbb{R} R sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x R \mathbb{R} R cos x \cos x cos x − sin x - \sin x − sin x R \mathbb{R} R tan x \tan x tan x 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x \displaystyle{\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x} cos 2 x 1 = 1 + tan 2 x R − ( π 2 + k π ) k ∈ Z \mathbb{R}-(\frac\pi2+k\pi) \; k \in \mathbb{Z} R − ( 2 π + kπ ) k ∈ Z l n ( u ) ′ ln(u)' l n ( u ) ′ u ′ u \displaystyle{\frac{u'}{u}} u u ′ ( α f ) ′ \bigl(\alpha f\bigr)' ( α f ) ′ α f ′ \alpha f' α f ′ ( f + g ) ′ \bigl(f+g\bigr)' ( f + g ) ′ f ′ + g ′ f'+g' f ′ + g ′ ( f g ) ′ \bigl(fg\bigr)' ( f g ) ′ f ′ g + f g ′ f'g + fg' f ′ g + f g ′ ( f n ) ′ \bigl(f^n\bigr)' ( f n ) ′ n f n − 1 f ′ nf^{n-1}f' n f n − 1 f ′ ( g ∘ f ) ′ (g \circ f)' ( g ∘ f ) ′ ( g ′ ∘ f ) ⋅ f ′ (g' \circ f)\cdot f' ( g ′ ∘ f ) ⋅ f ′ ( 1 g ) ′ \displaystyle{\left(\frac{1}{g} \right)'} ( g 1 ) ′ − g ′ g 2 \displaystyle{\frac{-g'}{g^2}} g 2 − g ′ ( f g ) ′ \displaystyle{\left(\frac{f}{g} \right)'} ( g f ) ′ f ′ g − f g ′ g 2 \displaystyle{\frac{f'g-fg'}{g^2}} g 2 f ′ g − f g ′
Notes mnémotechniques
Pour les fainéants, constatez que la fonction x n x^n x n vous permet de retrouver toutes les dérivées de puissance et d’inverse (n=1/2 pour une racine carré, n négatif pour les fractions car x − 1 = 1 x x^{-1}=\frac{1}{x} x − 1 = x 1 )
sin est sym pa, il se dérive en +cos (conservation du signe)
cos est un co n, il change de signe et se dérive en -sin
Pour dériver une fonction u, on reprend généralement la dérivée basée sur x et on la multiplie par u’.
Exemple : ( 1 x ) ′ = − 1 x 2 (\frac{1}{x})'=\frac{-1}{x^2} ( x 1 ) ′ = x 2 − 1 et ( 1 u ) ′ = − u ′ u 2 (\frac{1}{u})'=\frac{-u'}{u^2} ( u 1 ) ′ = u 2 − u ′
l n ( u ) ′ = u ′ u ln(u)'=\frac{u'}{u} l n ( u ) ′ = u u ′ est une dérivée importante
Primitives
Fonction Primitive 0 k k k (réel)k k k k . x k.x k . x x n x^n x n x n + 1 n + 1 \displaystyle{\frac{x^{n+1}}{n+1}} n + 1 x n + 1 − 1 x 2 -\frac{1}{x^2} − x 2 1 1 x \displaystyle{\frac{1}{x}} x 1 cos x \cos x cos x sin x \sin x sin x sin x \sin x sin x − cos x - \cos x − cos x e x e^x e x e x e^x e x u’+v’ u+v − u ′ u 2 -\frac{u'}{u^2} − u 2 u ′ 1 u \displaystyle{\frac{1}{u}} u 1 u ′ u n u'u^n u ′ u n u n + 1 u^{n+1} u n + 1 u ′ 2 u \frac{u'}{2\sqrt{u}} 2 u u ′ 1 u \displaystyle{\frac{1}{u}} u 1 u ′ u \frac{u'}{u} u u ′ l n ( u ) ln(u) l n ( u ) (si u > 0 u>0 u > 0 )
Trigonométrie
sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B
sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B
cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B
cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B
tan ( A − B ) = tan A − tan B 1 + tan A tan B \tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} tan ( A − B ) = 1 + tan A tan B tan A − tan B
tan ( A + B ) = tan A + tan B 1 − tan A tan B \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} tan ( A + B ) = 1 − tan A tan B tan A + tan B
cos ( 2 a ) = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a \begin{aligned}\cos (2a) & = \cos^{2} a - \sin^{2} a \cr
& = 2\cos^{2} a - 1 \cr
& = 1 - 2\sin^{2} a \end{aligned} cos ( 2 a ) = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
sin ( 2 a ) = 2 sin a cos a \sin (2a) = 2\sin a \cos a sin ( 2 a ) = 2 sin a cos a
tan ( 2 a ) = 2 tan a 1 − tan 2 a \tan (2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^{2} a } tan ( 2 a ) = 1 − tan 2 a 2 tan a
Angle 0 π / 6 \pi/6 π /6 π / 4 \pi/4 π /4 π / 3 \pi/3 π /3 π / 2 \pi/2 π /2 cos 1 3 / 2 \sqrt{3}/2 3 /2 2 / 2 \sqrt{2}/2 2 /2 1/2 0 sin 0 1/2 2 / 2 \sqrt{2}/2 2 /2 3 / 2 \sqrt{3}/2 3 /2 1 tan 0 1 / 3 1/\sqrt{3} 1/ 3 1 3 \sqrt{3} 3 -