Méthode de calculs

La majorité des questions de l’épreuve de mathématiques consiste à faire des calculs. Avec un peu d’entraînement, vous n’aurez aucun mal à résoudre ces questions, vous irez même plus vite.

Cette page est votre boîte à outils, vous devez maîtrisez toutes ces méthodes et calculs (ou les rentrer dans la calculatrice). Ils vont servir à tout type d’exercices.

Méthodes générales

Comparaison d’inégalités
Croissance de l’intégrale : Si une fonction est continue et positive, l’intégrale d’une fonction conserve l’inégalité
Fonctions composés
Comparaison de limite : Si f est continue, la fonction de la limite
Diviser pour régner
Principe fondateur pour les calculs d’intégrales, de dérivées et de limites

Changements de signe

Moins moins égal plus : a(bc)=ab+ca-(b-c) = a-b+c

Une inversion de signe modifie le sens d’une inégalité : abab-a\leq b \Leftrightarrow a \geq -b

Arithmétique et divisibilité

Nombres divisibles par 3
La somme des chiffres est divisible par 3
Exemples : 27; 420
Nombres divisibles par 5
Le dernier chiffre est 5 ou 0
Exemples : 15; 870
Nombres divisibles par 9
La somme des chiffres est égale à 9
Exemples : 81; 621

Calcul de limites

Pour le calcul de limite, il faut connaître les comportements des fonctions standards : xnx^n, ln(x), exe^x, sin(x), cos(x), etc.

Pour gérer les cas d’indécisions, il existe trois techniques de résolutions :

  1. Diviser l’expression en sommes indépendantes

    A utiliser pour des fractions par exemple :

1+ln(x)+3xx=1x+ln(x)x+3xx\frac{1+ln(x)+3x}{x} = \frac{1}{x}+\frac{ln(x)}{x}+\frac{3x}{x}
  1. Théorème des gendarmes ou d’encadrement

On trouve deux fonctions g(x) et h(x) d’encadrement pour que

g(x)f(x)h(x)g(x) \le f(x) \le h(x)

Ces deux fonctions doivent avoir la même limite a, ce qui permet de déduire la limite de f par encadrement.

limx?g(x)limx?f(x)limx?h(x)\lim_{x \to ?}g(x) \le \lim_{x \to ?}f(x) \le \lim_{x \to ?}h(x)

Ce théorème marche particulièrement bien avec sinus et cosinus car on a : 1sin(x)1-1 \le sin(x) \le 1

  1. Théorème des croissances comparées

Cela concerne davantage les fonctions x, ln(x) et exp(x). Il existe une hiérarchie entre elles :

ln(x)<x<exp(x)ln(x) < x < exp(x)

Lorsque deux de ces fonctions sont présentes dans une expression, on tient compte de la plus importante pour calculer la limite.

Exemples :

limx+exx=+\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty limxxex=0\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0 limx0+xln(x)=0\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0 limx+ln(x)x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0

Système de deux équations à deux inconnues

{3x+2y=5(1)x3y=9(2)\begin{cases} 3x+2y=5 &(1)\cr x-3y=9 &(2) \end{cases}
  1. On déduit yy de (1)
y=523x2y=\frac{5}{2}-\frac{3x}{2}
  1. On remplace yy dans l’autre équation (2)
x152+9x2=9x-\frac{15}{2}+\frac{9x}{2}=9 11x2=332\frac{11x}{2}=\frac{33}{2} x=3x=3
  1. On remplace la valeur de xx dans l’équation déduite à l’étape 1
y=2y=-2

Equations différentielles

Une équation différentielle possède une seule inconnue yy en relation avec sa dérivée yy'

On est en mesure de résoudre les équations de ce type :

y+ay=0    y=K.exp(a.x)y'+ay=0 \; \longrightarrow \; y = K.exp(-a.x)

Equations au second degré (trinôme)

Un polynôme possède une seule inconnue xx en relation avec les puissances de celui-ci xnx^n

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Résolution :

  1. Calcul du discriminant (Δ\Delta)
Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac
  1. Solutions selon le signe de Δ\Delta
  • Δ>0\Delta>0 :
x1=bΔ2a      x2=b+Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  • Δ=0\Delta=0 :
x0=b2ax_0=\frac{-b}{2a}
  • Δ<0\Delta<0 : pas de racines réelles mais complexes
x1=biΔ2a      x2=b+iΔ2ax_1=\frac{-b-i\sqrt{\Delta}}{2a} \;\;\; x_2=\frac{-b+i\sqrt{\Delta}}{2a}

Propriétés supplémentaires :

  • Deux polynômes sont égaux si leurs coefficients sont identiques

  • Forme canonique : a(x+b2a)2b24ac4a2a(x+\frac{b}{2a})^2−\frac{b^2−4ac}{4a^2}

Calcul d’intégrales - Intégration par parties

u(x).v(x)dx=u(x).v(x)u(x).v(x)dx\int u(x).v'(x) \, dx = u(x).v(x) - \int u'(x).v(x) \, dx uv=uvuv\int uv'=uv-\int u'v

Exemple :

1ex.ln(x)dx\int^e_1 x.ln(x) \, dx

On décompose l’intégrale en un produit uv’. Le choix du u et v’ est stratégique. le but est de réduire au plus simple la deuxième intégrale uv\int u'v

{u=ln(x)u=1xv=xv=x22\begin{cases} u=ln(x) & \longrightarrow u'=\frac{1}{x} \cr v'=x & \longrightarrow v=\frac{x^2}{2} \end{cases}

On utilise la formule pour réécrire l’intégrale en deux parties :

1ex.ln(x)dx=[x2.ln(x)2]1e1ex2dx=[x2.ln(x)2]1e[x24]1e=e2+14\begin{aligned} \int^e_1 x.ln(x) \, dx &= \begin{bmatrix}\frac{x^2.ln(x)}{2}\end{bmatrix}^e_1 - \int^e_1 \frac{x}{2} \, dx \cr &= \begin{bmatrix}\frac{x^2.ln(x)}{2}\end{bmatrix}^e_1 - \begin{bmatrix}\frac{x^2}{4}\end{bmatrix}^e_1 \cr &= \frac{e^2+1}{4} \end{aligned}

Notes :

  • En général, si on a un produit avec xx dans l’intégrale principale, alors on pose v=xv=x pour simplifier la nouvelle intégrale.
  • Ne pas oublier de découper l’intégrale en plusieurs sommes si la résolution est difficile (comme x23x2\frac{x^2-3x}{2}).
  • Pour les cas les plus complexes, il peut y avoir 2 intégrations par parties successives.

Logarithmes et exponentielles

Exponentielle sur R\mathbb{R}
Exponentielle se dérive en lui-même ex=ex{e^x}'=e^x
La constante réel e2,718e \simeq 2,718
Logarithme népérien sur R0\mathbb{R}-{0}
Fonction inverse de l’exponentielle ln(ex)=xln(e^x)=x
Permet de résoudre des questions de type : “Exprimer n lorsque xn=kx^n=k”, on écrit alors n=ln(k)ln(x)n=\frac{ln(k)}{ln(x)}
Valeurs stratégiques ln(1)=0ln(1)=0 et ln(e)=1ln(e)=1
y=x (en noir) est l'axe de symétrie entre exp(x) (en rouge) et ln(x) (en bleu)
Logarithme décimal sur R+\mathbb{R}+*
S’utilise beaucoup en sciences physiques où l’on manipule les puissances de 10
x=10y    y=log(x)x=10^y \; \longrightarrow \; y = log(x)

:

log(x)=ln(x)ln(10)log(x)=\frac{ln(x)}{ln(10)}

Manipulation des puissances et exponentielle

Les puissances et les exponentielles se manipulent de la même façon :

ea.eb=ea+be^a.e^b = e^{a+b} eaeb=eab\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b} (ea)n=ea.n(e^a)^n = e^{a.n}
xa.xb=xa+bx^a.x^b = x^{a+b} xaxb=xab\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} (xa)n=xa.n(x^a)^n = x^{a.n}

Manipulation des logarithmes

Les deux logarithmes (log et ln) se manipulent de la même façon :

ln(a.b)=ln(a)+ln(b)ln(a.b) = ln(a) + ln(b) ln(ab)=ln(a)ln(b)ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b) ln(an)=n.ln(a)ln(a^n) = n.ln(a)
log(a.b)=log(a)+log(b)log(a.b) = log(a) + log(b) log(ab)=log(a)log(b)log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b) log(an)=n.log(a)log(a^n) = n.log(a)