Suites numériques

Les suites numériques sont une suite de nombres indexés par un entier naturel n. On définit généralement les suites avec son premier élément $U_0$ et la fonction pour calculer le prochain élément $U_{n+1}$.

Deux types de suite

Suites arithmétiques

Principe : On additionne chaque élément successif avec la raison r

$$U_{n+1} = U_n + r$$ $$U_n = U_0 + nr$$

Exemple avec les paramètres $U_0=1$ et r=3 :

• $U_0=1$
• $U_1=4$
• $U_2=7$
• $U_3=10$

Suites géométriques

Principe : On multiplie chaque élément successif avec la raison q

$$U_{n+1} = q \times U_n$$ $$U_n = U_0 \times q^n$$

Exemple avec les paramètres $U_0=5$ et q=2 :

• $U_0=5$
• $U_1=10$
• $U_2=20$
• $U_3=40$

Convergence et calcul de limite

Outre des calculs simples qui utilisent les formules ci-dessus, on demande généralement d'étudier la limite d'une suite $\lim_{n \to \infty} U_n$ Cela se fait généralement en trois étapes.

1. Déterminer la monotonie d'une suite, c'est-à-dire de déterminer si la suite est décroissante/croissante. Calculer $U_{n+1} - U_n$ et étudier le signe

   • Si > 0 : suite croissante
   • Si < 0 : suite décroissante
   • Si =0 : suite constante

2. Montrer qu'une suite est convergente/divergente

   • Si la suite est croissante et majorée ($U_n \leq K$)
   • Si la suite est décroissante et minorée ($U_n \geq K$)

3. Déterminer la limite de la suite Pour une suite de fonction, il faut trouver la limite tel que $f(l) = l$

Raisonnement par récurrence

On utilise le raisonnement par récurrence pour prouver qu'une propriété concernant une suite est vraie. Celui-ci s'effectue en deux étapes.

Exemple : prouver que $U_n < 2$

1. Initialisation : Confirmer que $U_0<2$
2. Hérédité : En supposant que $U_n<2$ alors prouver que $U_{n+1}<2$, se démontre facilement en exprimant $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$