Suites numériques

Les suites numériques sont une suite de nombres indexés par un entier naturel n. On définit généralement les suites avec son premier élément U0U_0 et la fonction pour calculer le prochain élément Un+1U_{n+1}.

Deux types de suite

Suites arithmétiques

Principe : On additionne chaque élément successif avec la raison r

Un+1=Un+rU_{n+1} = U_n + r
Un=U0+nrU_n = U_0 + nr

Exemple avec les paramètres U0=1U_0=1 et r=3 :

  • U0=1U_0=1
  • U1=4U_1=4
  • U2=7U_2=7
  • U3=10U_3=10

Suites géométriques

Principe : On multiplie chaque élément successif avec la raison q

Un+1=q×UnU_{n+1} = q \times U_n
Un=U0×qnU_n = U_0 \times q^n

Exemple avec les paramètres U0=5U_0=5 et q=2 :

  • U0=5U_0=5
  • U1=10U_1=10
  • U2=20U_2=20
  • U3=40U_3=40

Convergence et calcul de limite

Outre des calculs simples qui utilisent les formules ci-dessus, on demande généralement d’étudier la limite d’une suite limnUn\lim_{n \to \infty} U_n Cela se fait généralement en trois étapes.

  1. Déterminer la monotonie d’une suite, c’est-à-dire de déterminer si la suite est décroissante/croissante. Calculer Un+1UnU_{n+1} - U_n et étudier le signe

    • Si > 0 : suite croissante
    • Si < 0 : suite décroissante
    • Si =0 : suite constante
  2. Montrer qu’une suite est convergente/divergente

    • Si la suite est croissante et majorée (UnKU_n \leq K)
    • Si la suite est décroissante et minorée (UnKU_n \geq K)
  3. Déterminer la limite de la suite Pour une suite de fonction, il faut trouver la limite tel que f(l)=lf(l) = l

Raisonnement par récurrence

On utilise le raisonnement par récurrence pour prouver qu’une propriété concernant une suite est vraie. Celui-ci s’effectue en deux étapes.

Exemple : prouver que Un<2U_n < 2

  1. Initialisation : Confirmer que U0<2U_0<2
  2. Hérédité : En supposant que Un<2U_n<2 alors prouver que Un+1<2U_{n+1}<2, se démontre facilement en exprimant Un+1U_{n+1} en fonction de UnU_n