Lois de probabilités

En seconde partie d'exercice, vous avez souvent à étudier l'une de ces quatre lois. Attention, les quatre parties sont indépendantes.

Loi binomiale et épreuve de Bernoulli

Le principe de la loi binomiale est de faire plusieurs expériences en considérant deux résultats possibles (succès ou échec). Exemple : lancement d'une pièce (pile ou face).

Ce type d'exercice apparaît souvent après des probabilités conditionnelles.

Enoncé : X est une variable aléatoire qui définit le nombre d'expériences réussies ...

Justification de la loi binomiale

La première étape consiste toujours à justifier que X suit une loi binomiale. Il suffit donc de justifier qu'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli car :

• L'expérience aboutit à deux résultats seulement (succès / échec)
• Les expériences consécutives sont indépendantes les unes des autres (large population, tirage avec remise, etc.)

On demande également de donner les paramètres qui sont :

• n = nombre d'expériences qui sont répétées (figure dans l'énoncé)
• p = probabilité de la réalisation de l'expérience (souvent déterminée dans la première partie de l'exercice)

Calculs de probabilités

Une fois justifiée, on peut utiliser la formule du cours pour des calculs de probabilités : $$\mathbb{P}(X=k) = C\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Les différents calculs demandés sont :

• Calculer la probabilité pour que 5 expériences soient réussis ? Il faut alors déterminer P(X=5).
• On remarquera que pour les calculs de type P(X>2) que cela est équivalent à : 1 - P(X=1) - P(X=0)
• Déterminer n (le nombre d'expériences à réaliser), pour avoir par exemple P(X=3) > 0,8

Valeurs particulières

Pour une expérience de Bernoulli :

• Espérance = p (c'est la probabilité de gagner)
• Variance = p.(1-p)

Loi de probabilité de X

Dans cet énoncé qui apparaît souvent en seconde partie après les arbres pondérés, X est une variable aléatoire donnant par exemple le nombre de jetons gagnants dans un tirage.

Déterminer la loi de probabilité

Déterminer la loi de probabilité de X consiste toujours à faire ce tableau avec les différentes valeurs de X et la probabilité de résultat en-dessous. Par exemple pour 3 jetons blancs possibles :

Calcul de l'espérance mathématiques

Généralement, on demande de calculer l'espérance mathématique (la moyenne des gains en fait). Ce qui consiste à faire la somme des différents produits X.P(X) :

$$\mathbb E(X) = \sum_{i = 1}^n x_i p_i$$

Loi exponentielle

Certains sujets font appel à la loi exponentielle qui est utilisée pour exprimer les durées de vie sans vieillissement.

L'énoncé est souvent exprimé comme-ci : X est une variable aléatoire qui désigne la durée de vie d'un appareil suivant une loi exponentielle de paramètre lambda. La formule de la loi exponentielle (pour t positif) est la suivante : $$P(X\leq t) = \int_0^{t} \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm dx$$

Note: Il s'agit d'un cas particulier des lois à densité, où la probabilité est en fait l'aire (intégrale) formé par une fonction sur un intervalle [A;B] avec l'axe des abscisses. Ici la fonction est une exponentielle.

Résolution

Dans les premières questions, on demandera forcément de résoudre l'intégrale (intégration par parties). On peut par exemple demander de déterminer le paramètre lambda quand P(X>5)=0.4

Principe

Le principe de cette loi est le suivant : "Si un appareil a déjà duré 2 heures, alors la probabilité qu'il dure 5 heures de plus est équivalent à la probabilité qu'il dure 5 heures"

En langage mathématiques : $$\mathbb{P}(X\geq t+s \; | \; X\geq t) = \mathbb{P}(X\geq s)$$

Valeurs particulières

• Espérance = $\displaystyle{\frac{1}{\lambda}}$
• Variance = $\displaystyle{\frac{1}{\lambda^2}}$

Loi normale

Définitions

Une variable aléatoire suit une loi normale $\displaystyle{\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}$ où :

• Espérance = $\displaystyle{\mu}$
• Variance = $\displaystyle{\sigma^2}$

Une loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ est centrée et réduite.

Pour toute loi normale de variable aléatoire X, la loi normale de variable $\displaystyle{Y=\frac{X-\mu}{\sigma}}$ est centrée et réduite.

Utilisation et calculs avec la calculatrice

Avec votre calculatrice, vous devez être capable de :

• Calculer $P(k_1 \leqslant X \leqslant k_2)$ et $P(X \leqslant k)$
• Calculer $a$ tel que $P(X \leqslant a)=p$

Méthode selon les calculatrices

• CASIO : Menu STAT, puis DIST et NORM

  • La fonction Npd permet d'obtenir les valeurs prises par la fonction
  • La fonction Ncd permet de calculer $P(k_1 \leqslant X \leqslant k_2)$
  • La fonction InvN permet de calculer $a$ tel que $P(X \leqslant a)=p$

• Texas : DISTR puis

  • La fonction Normalpdf ou normalFdp permet d'obtenir les valeurs prises par la fonction
  • Le fonction normalcdf ou normalFrèp selon les versions
  • La fonction invNorm ou fracNormale permet de calculer $a$ tel que $P(X \leqslant a)=p$

Intervalle de fluctuation asymptotique

On a les hypothèses suivantes :

• $n \geqslant 30$
• $np \geqslant 5$
• $n(1-p) \geqslant 5$

95% de fréquence $F_n$ $\displaystyle{[p-1.96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1.96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}]}$