Arbre pondéré et calcul de probabilités conditionnelles

Dessiner et interpréter un arbre pondéré

Exemples : Etude d'un virus sur une population (caractères dépisté et malade), tirage de boules AVEC remise dans le sac.

Traduction du problème posé sous forme d'arbre pondéré à 2 ou 3 niveaux maximum. L'énoncé fournit toujours les notations à utiliser et quelques probabilités. On considère ici deux événements notés A et B.

Probabilité sachant que : $\mathbb{P}_A(B)$ ou $\mathbb{P}(B|A)$

Attention, on note probabilité de B sachant que A est réalisé, de deux façons différentes. Choisissez celle qui vous convient et ne vous trompez pas de sens.

• $\mathbb{P}_A(B)$ : Ici, on sait que l'on cherche la probabilité de B, le A qui est réalisé est en indice
• $\mathbb{P}(B|A)$ : Ici, on retrouve l'ordre que l'on a dans B sachant que A

Calcul de probabilités

Le calcul des probabilités se fait à partir des données de l'énoncé et de ces formules :

Probabilité de l'événement contraire de A

$$\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)$$

Probabilité de A ou B

$$\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$$

Probabilité de A et B

A connaître sur le bout des doigts, elle sert à chaque fois

Elle permet d'avoir également la probabilité de B sachant que A est réalisé.

$$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}_A(B)$$

Formule des probabilités totales

$$\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap \overline{B})$$

Formules logiques

Pour les calculs de probabilités P(X) où X est exprimé dans l'énoncé, il faut utiliser ces quelques principes logiques selon le cas :

• $\mathbb{P}(X) = 1 - \mathbb{P}(Y)$, si X est le conjugué de Y
• $\mathbb{P}(X) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$, si A et B définissent X
• $\mathbb{P}(X) = \mathbb{P}(A/B)$, si X correspond à une situation où A sachant que B
• $\mathbb{P}(X<1) = 1 - \mathbb{P}(X \geqslant 1)$
• $\mathbb{P}(X>1) = 1- \mathbb{P}(X=0)$, si X est une variable aléatoire avec des valeurs entières (0, 1, 2, etc.)

Indépendance d'événements

Pour démontrer que les événements A et B sont indépendants (ou l'inverse) :

Si A et B sont indépendants, ils n'ont aucune influence l'un sur l'autre, et donc : $$\mathbb{P}(A \cap B) = 0$$

On en déduit également que : $$\mathbb{P}_A(B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)$$