Plan complexe

Définitions et vocabulaire

L'ensemble des complexes $\mathbb{C}$ correspond à l'ensemble $\mathbb{R}$ auquel on ajoute le nombre "imaginaire" i tel que $i^2=-1$

On définit le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$. Les lettres u et v doivent vous interpeller, on quitte le monde des fonctions avec les repères de coordonnées $\vec{i},\vec{j}$ pour le monde des complexes.

Affixes de points M(z)

Tout point M(z) du plan $(O,\vec{u},\vec{v})$ est défini par une affixe z plutôt que des coordonnées (x,y). Cette affixe s'exprime sous deux formes :

• Forme algébrique
• Forme trigonométrique / exponentielle

Forme algébrique

$$z=a+ib$$

Les deux paramètres de la forme algébrique sont :

• a est la partie réelle (coordonnées sur l'abscisse u)
• b est la partie imaginaire (coordonnées sur l'ordonnée v)

On note le conjugué de z : $$\bar{z}=a-ib$$

On a le module de z (longueur OM) : $$|z|=|\bar{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Cas particuliers :

• Si z=a alors z est réel, M est sur l'axe $\vec{u}$
• Si z=ib alors z est imaginaire pur, M est sur l'axe $\vec{v}$

Forme trigonométrique / exponentielle

$$z=|z| \times e^{i\theta} \; [2\pi]$$

$$e^{i\theta}=cos(\theta)+i.sin(\theta)$$

Les deux paramètres de la forme trigonométrique sont :

Module de z

$|z| = \overline{OM}$

Rappel : $|e^{i\theta}|=1$

Argument de z

$arg(z) = \theta = (\vec{u};\overrightarrow{OM})$

Attention, l'argument d'un complexe est un angle, n'écrivez pas l'inverse : $arg(\theta)$ !

$$z'=z^n \;\Longrightarrow\;\begin{cases} |z'|=|z|^n\cr arg(z')=n \times arg(z) \; [2\pi] \end{cases}$$

Affixe de vecteurs $\overrightarrow{AB}$

On définit l'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $z_B-z_A$

La longueur |AB| est : $|z_B-z_A|$

Le milieu I d'un segment AB a pour affixe : $\displaystyle{\frac{z_a+z_b}{2}}$

Une affaire d'angles :

$$\begin{aligned} (\vec{u};\overrightarrow{OA})= & arg(z_A) \cr (\vec{u};\overrightarrow{AB})= & arg(z_B-z_A) \cr (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})= & arg(\frac{z_B}{z_A}) \cr (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})= & arg(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}) \end{aligned}$$

Géométrie dans le plan complexe

Transformations géométriques

La manipulation des affixes dans le plan complexe s'accompagne la plupart du temps de transformations. A tout point M(z), on associe son transformé M'(z'). C'est sur ces transformations que portent les questions de l'épreuve.

Les transformations du plan sont les suivantes :

Translation

Translation de rapport k

$\overrightarrow{OM'}=\overrightarrow{OM}+k$

$$z'=z+k$$

Rotation

Rotation de centre C d'angle $\theta$

$\begin{cases}CM'=CM \cr (\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM'})=\theta + 2k\pi\end{cases}$

$$z'-z_C=(z-z_C).e^{i\theta}$$

Homothétie

Homothétie de centre C de rapport k (modification de la taille)

$\overrightarrow{CM'}= k.\overrightarrow{CM}$

$$z'-z_C= k.(z-z_C)$$

Symétrie centrale

Symétrie de centre C

$\overrightarrow{CM'}=\overrightarrow{MC}$

$$z'-z_C=z_C-z$$

Exemples d'affixes de transformés

Ensemble de points décrit par M

M décrit la médiatrice de [AB]

$|AM|=|BM|$

$|z-z_A|=|z-z_B|$

Exemple : |z-1|=|z|

M décrit le cercle de centre C de rayon r

|CM| = r

$|z-z_C|=r$

$z-z_C = r . e^{i\theta}$

Exemple : |z-1|=2

Points A,B et C alignés

On utilise la même stratégie qu'en géométrie dans l'espace. Il faut vérifier la colinéarité des vecteurs

$\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC} \;$ avec k réel

$z_B-z_A = k . (z_C-z_A) \;\; k \in \mathbb{R}$

AM et BM sont parallèles

$(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM})=\vec{0}$

$\frac{z-z_B}{z-z_A}$ est un réel

AM perpendiculaire à BM

$(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM})=\frac{\pi}{2}$

$\frac{z-z_B}{z-z_A}$ est un imaginaire pur

Figures géométriques de plusieurs points

Parrallélogramme ABCD

Diagonales AC et BD avec le même milieu $\frac{z_C-z_A}{2}=\frac{z_D-z_B}{2}$

Vecteurs égaux $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ : $z_B-z_A=z_D-z_C$

Rectangle ABCD

Diagonales AC et BD de même longueur $|z_C-z_A|=|z_D-z_B|$

$(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC})=\pi/2$

Triangle équilatéral ABC

Trois côtés egaux $|z_B-z_A|=|z_C-z_A|=|z_C-z_B|$

Ou au moins deux côtés egaux $z_B-z_A=z_B-z_C$ et un angle de $\frac{\pi}{3}$ : $arg(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_B})=\frac{\pi}{3}$

Astuces diverses

Quelques astuces supplémentaires pour la résolution des questions :

1. Pour $z=1+i$, on a :

   • $arg(z)=\pi/4$
   • $|z|=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. La valeur $\displaystyle{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$ est souvent utilisée. Son écriture exponentielle est $e^{i\frac{\pi}{3}}$

3. On remarque que : $(1+i)(1-i)=2$
   Très utile lorsque $(1+i)$ ou $(1-i)$ est un dénominateur
   Exemple : $\displaystyle{\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}}$

4. Pour résoudre une équation d'affixe, on isole partie réelle et imaginaire et on fait l'égalité des deux
   $z=z' \Leftrightarrow a=a'$ et $b=b'$