Spécialité / Les matrices

Matrices

Les matrices sont des tableaux de nombres. En général, on manipule des matrices de 2 à 3 dimensions seulement.

Matrice carré

Autant de lignes que de colonnes. Matrice carré d'ordre 2 : $\begin{bmatrix} a & b \cr c & d \end{bmatrix}$

Matrice diagonale

Coefficients à 0 hormis sur la diagonale $\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \cr 2 & 9 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Matrices identités $Id_n$

Matrice diagonale avec des coefficients 1

$Id_1$ $\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$

$Id_2$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{bmatrix}$

$Id_3$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Matrice inversible

A est inversible s'il existe une matrice B tel que $AB=BA=I_n$

On appelle la matrice inverse $B=A^{-1}$

Note : L'inverse d'une matrice diagonale A est une matrice B avec les coefficients inverses de A.

Multiplication de matrices

• Attention la position est importante pour multiplier deux matrices A et B, $AB \neq BA$. Sauf si les matrices commutent.
• Pour multiplier trois matrices, commencer par la gauche ou la droite revient au même $(AB)C=A(BC)$
• Le produit de deux matrices $A \times B$ possède :
  • le nombre de lignes de la matrice de gauche A
  • le nombre de colonnes de la matrice de droite B

Calcul des coefficients

$$\begin{bmatrix} a & b \cr c & d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} e \cr f \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ae + bf \cr ce + df \end{bmatrix}$$

Illustration