Formulaire

Calculs

Développer/Fractionner

(a+b)2=a²+2ab+b2(a+b)^2=a²+2ab+b^2
(ab)2=a²2ab+b2(a-b)^2=a²-2ab+b^2
(a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Argument

La fonction argument pour les angles trigonométriques fonctionne comme un logarithme

arg(xn)=n.arg(x)arg(x^n)=n.arg(x)
arg(xy)=arg(x)+arg(y)arg(xy)=arg(x)+arg(y)
arg(xy)=arg(x)arg(y)arg(\frac{x}{y}) = arg(x) - arg(y)

Géométrie

Aires des figures usuelles

FigureAire
Disqueπ×r2\pi \times r^2
Carréc2c^2
RectangleL×lL \times l
Parrallélogrammebase×hauteurbase \times hauteur
Trianglebase×hauteur2\displaystyle{\frac{base \times hauteur}{2}}
Losangediagonale1×diagonale22\displaystyle{\frac{diagonale1 \times diagonale2}{2}}
Trapèze(grandeBase+petiteBase)×hauteur2\displaystyle{\frac{(grandeBase + petiteBase) \times hauteur}{2}}

Cas du cercle

  • Périmètre d’un cercle 2πr2\pi r
  • Aire d’un disque πr2\pi r^2
  • Volume d’une sphère 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3

Fonctions

Dérivées

L’ensemble de dérivabilité correspond à l’intervalle de définition de la fonction d’origine, auquel on retire les valeurs impossibles de la dérivée.

FonctionDérivéeEnsemble de définition / dérivabilité
kk0R\mathbb{R}
xx1R\mathbb{R}
x2x^22xR\mathbb{R}
x\sqrt{x}12x\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}R_+\mathbb{R}\_+ / R+\mathbb{R}_+^*
xnx^nnxn1nx^{n-1}R\mathbb{R}
1x\displaystyle{\frac{1}{x}}1x2\displaystyle{-\frac{1}{x^2}}R\mathbb{R}^*
1xn\displaystyle{\frac{1}{x^n}}nxn+1\displaystyle{-\frac{n}{x^{n+1}}}R\mathbb{R}^*
lnxln \|x\|1x\displaystyle{\frac{1}{x}}R\mathbb{R}^*
exe^xexe^xR\mathbb{R}
axa^xaxln(a)a^x ln(a)R\mathbb{R}
sinx\sin xcosx\cos xR\mathbb{R}
cosx\cos xsinx- \sin xR\mathbb{R}
tanx\tan x1cos2x=1+tan2x\displaystyle{\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x}R(π2+kπ)  kZ\mathbb{R}-(\frac\pi2+k\pi) \; k \in \mathbb{Z}
ln(u)ln(u)'uu\displaystyle{\frac{u'}{u}}
(αf)\bigl(\alpha f\bigr)'αf\alpha f'
(f+g)\bigl(f+g\bigr)'f+gf'+g'
(fg)\bigl(fg\bigr)'fg+fgf'g + fg'
(fn)\bigl(f^n\bigr)'nfn1fnf^{n-1}f'
(gf)(g \circ f)'(gf)f(g' \circ f)\cdot f'
(1g)\displaystyle{\left(\frac{1}{g} \right)'}gg2\displaystyle{\frac{-g'}{g^2}}
(fg)\displaystyle{\left(\frac{f}{g} \right)'}fgfgg2\displaystyle{\frac{f'g-fg'}{g^2}}

Notes mnémotechniques

Pour les fainéants, constatez que la fonction xnx^n vous permet de retrouver toutes les dérivées de puissance et d’inverse (n=1/2 pour une racine carré, n négatif pour les fractions car x1=1xx^{-1}=\frac{1}{x})

sin est sympa, il se dérive en +cos (conservation du signe)

cos est un con, il change de signe et se dérive en -sin

Pour dériver une fonction u, on reprend généralement la dérivée basée sur x et on la multiplie par u’.
Exemple : (1x)=1x2(\frac{1}{x})'=\frac{-1}{x^2} et (1u)=uu2(\frac{1}{u})'=\frac{-u'}{u^2}

ln(u)=uuln(u)'=\frac{u'}{u} est une dérivée importante

Primitives

FonctionPrimitive
0kk (réel)
kkk.xk.x
xnx^nxn+1n+1\displaystyle{\frac{x^{n+1}}{n+1}}
1x2-\frac{1}{x^2}1x\displaystyle{\frac{1}{x}}
cosx\cos xsinx\sin x
sinx\sin xcosx- \cos x
exe^xexe^x
u’+v’u+v
uu2-\frac{u'}{u^2}1u\displaystyle{\frac{1}{u}}
uunu'u^nun+1u^{n+1}
u2u\frac{u'}{2\sqrt{u}}1u\displaystyle{\frac{1}{u}}
uu\frac{u'}{u}ln(u)ln(u) (si u>0u>0)

Trigonométrie

sin(AB)=sinAcosBcosAsinB\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
tan(AB)=tanAtanB1+tanAtanB\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
tan(A+B)=tanA+tanB1tanAtanB\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
cos(2a)=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a\begin{aligned}\cos (2a) & = \cos^{2} a - \sin^{2} a \cr & = 2\cos^{2} a - 1 \cr & = 1 - 2\sin^{2} a \end{aligned}
sin(2a)=2sinacosa\sin (2a) = 2\sin a \cos a
tan(2a)=2tana1tan2a\tan (2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^{2} a }
Angle0π/6\pi/6π/4\pi/4π/3\pi/3π/2\pi/2
cos13/2\sqrt{3}/22/2\sqrt{2}/21/20
sin01/22/2\sqrt{2}/23/2\sqrt{3}/21
tan01/31/\sqrt{3}13\sqrt{3}-