Étude de fonctions

L’étude de fonctions est un exercice récurrent de l’épreuve. Généralement, c’est l’exercice qui compte le plus de points, et c’est sans doute celui que l’on peut réussir le plus facilement. Il suffit de suivre la méthodologie suivante.

Quelques types de fonctions

Voici les différents types de fonctions qui sont généralement à étudier :

Logarithmiques
Exponentielles
Polynômes
- Equations affines de droites $y=ax+b$
- Trinômes $y=ax^2+bx+c$
Trigonométrique (cos, sin, tan)
Fractions des types précédents
Suites de fonctions $f_n(x)$ : plusieurs courbes $C_1, C_2, etc.$

Quelques courbes

y=x (en noir) est l'axe de symétrie entre exp(x) (en rouge) et ln(x) (en bleu)

$cos(x)=sin(x+\pi/2)$ et inversement

La courbe de 1/x est une *hyperbole*

La courbe de $x^2$ est une *parabole* et l'axe des ordonnées est un axe de symétrie

Les points de $x^3$ sont symétriques par rapport à l'origine O

Méthodologie de l’étude

L’étude d’une fonction consiste à l’analyser jusqu’à déduire son traçage. Vous devez être capable de représenter une fonction sur papier millimétré s’il le faut. Pour cela, on suit toujours la méthodologie suivante et vous serait guidé au fil des questions :

Calcul de limites
Calcul de la dérivée
Tableau de variation
Etude du signe de la fonction

Calcul de limites

Pour connaître le comportement de la fonction, on calcule la limite sur certains points où la fonction n’a pas de solutions exactes :

aux infinis
lorsque le dénominateur d’une fraction est nul
lorsque le logarithme est nul

Pour vous aider dans le calcul de limites, voir la page sur les calculs

Calcul de la dérivée

Pourquoi faire cela me direz-vous ? Le signe de la dérivée permet de déterminer la croissance d’une courbe de fonction. En effet, la dérivée d’une fonction nous donne le coefficient directeur (la pente) de la tangente en un point.

Surtout ne pas oublier de donner l’ensemble de définition, en excluant les points où il n’y a pas de solution
- lorsque le dénominateur d’une fraction est nul
- lorsque le logarithme est nul
Calcul de la dérivé, voir le formulaire

Tableau de variation

Le calcul de la dérivée et des limites permet de faire un tableau de variation, dernière étape avant le tracé de la courbe.

Si f’(x) > 0 alors f est croissante
Si f’(x) <0 alors f est décroissante
Si f’(x)=0 alors f admet une tangente horizontale en x. Le point x peut être un minimum/maximum.

Tableau de variation :

Étude du signe de la fonction

Parfois, on peut demander de déduire le signe de f(x). Pour cela, il faut :

Trouver la ou les valeurs $x_0$ où la fonction s’annule $f(x_0)=0$
Justifier que la fonction est continue et croissante/décroissante sur un intervalle.

=> La fonction change de signe avant et après $x_0$

Résolutions de questions

Sur un point

Justifier que f admet un maximum en k: On justifie que f est dérivable; On calcule f’ et on détermine la valeur k où elle s’annule; On conclue que f est croissante sur $]-\infty ; k]$ et décroissante sur $[k ; +\infty[$
Trouver un majorant (valeur supérieure à toutes les valeurs de la fonction): Il faut trouver le maximum d’une fonction tel que f(x) < K. Le meilleur majorant étant le plus petit.
Déterminer l’équation d’une tangente en un point $x_0$: $y= f'(x_0).x + f(x_0)$; Rappel: Une tangente est horizontale ssi $f'(x_0)=0$
Trouver les coordonnées du point de la courbe coupant l’axe des abscisses: Résoudre l’équation f(x)=0
Montrer que F est une primitive de f: On justifie l’intervalle de dérivation de F, puis on la dérive F pour obtenir f !

Continuité sur un intervalle

Déterminer que f(x) admet une solution k sur un intervalle donné $[x_a;x_b]$: Justifier que f est bien définie sur l’intervalle; Puis, utiliser le théorème des valeurs intermédiaires :; Justifier que f est une fonction continue et strictement (dé)croissante; Pour $x_a<x<x_b$ , on a $f(x_a)<f(x)<f(x_b)$ (Inverser le sens de comparaison pour une fonction décroissante); On peut déterminer la valeur alpha approchée avec la fonction TABLE de la calculatrice
Démontrer que si $0 < x < 1$ alors $K < f(x)< K'$: Il faut justifier que la fonction est continue et croissante. Puis on calcule $f(0) < f(x) < f(1)$

Analyse de deux courbes f et g

Identifier deux courbes sur un graphe: S’aider d’une part des sens de variations, des limites; Si cela ne suffit pas, repérer les points d’intersections avec l’axe des abscisses, ce qui consiste à résoudre f(x)=0
Positions de deux courbes par fonctions: Si C2 est au-dessus de C1 alors f2>f1 et f2-f1>0
Trouver les coordonnées du point d’intersection de deux courbes: Résoudre l’équation $f(x_0)=g(x_0)$
Déterminer l’écart maximum entre deux courbes: On dérive la fonction $f(x)-g(x)$ afin de déterminer son maximum
Trouver la distance de deux points MN: Résoudre $|f(x_m)-g(x_n)|$

Aires et intégrales

L’intégrale de f(x) sur un intervalle désigne l’aire avec l’axe des abscisses.

Aire Integrales 1

L’intégrale de f(x) - g(x) désigne l’aire délimitée par les deux courbes

Aire Integrales 2

Suites de fonction

Il arrive d’étudier une série de courbes et de fonctions $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , etc.

Il s’agit d’une suite de fonction $f_n(x)$ qui s’exprime en fonction de l’entier n et du réel x.

La convergence d’une suite de fonctions donne une fonction.

Exemple :

f_n(x)=\frac{1}{n}+x

\lim_{n \to \infty} f(x) = x

Résolutions de questions

Justifier que k(appartenant à Ck) est un entier positif > 2
fn(X) = K constante alors toutes les courbes Cn passent par le point (X, K)
Une suite d’intégrales $In$ est convergente si elle est décroissante et minorée par un réel (0 par exemple)
Manipulation d’intégrales : Utiliser la positivité de l’intégrale si la fonction est positive pour tout naturel non nul.