Étude de fonctions

L'étude de fonctions est un exercice récurrent de l'épreuve. Généralement, c'est l'exercice qui compte le plus de points, et c'est sans doute celui que l'on peut réussir le plus facilement. Il suffit de suivre la méthodologie suivante.

Quelques types de fonctions

Voici les différents types de fonctions qui sont généralement à étudier :

Quelques courbes

y=x (en noir) est l'axe de symétrie entre exp(x) (en rouge) et ln(x) (en bleu) $cos(x)=sin(x+\pi/2)$ et inversement La courbe de 1/x est une hyperbole La courbe de $x^2$ est une parabole et l'axe des ordonnées est un axe de symétrie Les points de $x^3$ sont symétriques par rapport à l'origine O

Méthodologie de l'étude

L'étude d'une fonction consiste à l'analyser jusqu'à déduire son traçage. Vous devez être capable de représenter une fonction sur papier millimétré s'il le faut. Pour cela, on suit toujours la méthodologie suivante et vous serait guidé au fil des questions :

Calcul de limites

Pour connaître le comportement de la fonction, on calcule la limite sur certains points où la fonction n'a pas de solutions exactes :

Pour vous aider dans le calcul de limites, voir la page sur les calculs

Calcul de la dérivée

Pourquoi faire cela me direz-vous ? Le signe de la dérivée permet de déterminer la croissance d'une courbe de fonction. En effet, la dérivée d'une fonction nous donne le coefficient directeur (la pente) de la tangente en un point.

  1. Surtout ne pas oublier de donner l'ensemble de définition, en excluant les points où il n'y a pas de solution

    • lorsque le dénominateur d'une fraction est nul
    • lorsque le logarithme est nul

  2. Calcul de la dérivé, voir le formulaire

Tableau de variation

Le calcul de la dérivée et des limites permet de faire un tableau de variation, dernière étape avant le tracé de la courbe.

Tableau de variation :

Tableau de variation

Étude du signe de la fonction

Parfois, on peut demander de déduire le signe de f(x). Pour cela, il faut :

  1. Trouver la ou les valeurs $x_0$ où la fonction s'annule $f(x_0)=0$
  2. Justifier que la fonction est continue et croissante/décroissante sur un intervalle.

=> La fonction change de signe avant et après $x_0$

Résolutions de questions

Sur un point

Justifier que f admet un maximum en k
On justifie que f est dérivable
On calcule f' et on détermine la valeur k où elle s'annule
On conclue que f est croissante sur $]-\infty ; k]$ et décroissante sur $[k ; +\infty[$
Trouver un majorant (valeur supérieure à toutes les valeurs de la fonction)
Il faut trouver le maximum d'une fonction tel que f(x) < K. Le meilleur majorant étant le plus petit.
Déterminer l'équation d'une tangente en un point $x_0$
$y= f'(x_0).x + f(x_0)$
Rappel: Une tangente est horizontale ssi $f'(x_0)=0$
Trouver les coordonnées du point de la courbe coupant l'axe des abscisses
Résoudre l'équation f(x)=0
Montrer que F est une primitive de f
On justifie l'intervalle de dérivation de F, puis on la dérive F pour obtenir f !

Continuité sur un intervalle

Déterminer que f(x) admet une solution k sur un intervalle donné $[x_a;x_b]$
Justifier que f est bien définie sur l'intervalle
Puis, utiliser le théorème des valeurs intermédiaires :
Justifier que f est une fonction continue et strictement (dé)croissante
Pour $x_a<x<x_b$, on a $f(x_a)<f(x)<f(x_b)$ (Inverser le sens de comparaison pour une fonction décroissante)
On peut déterminer la valeur alpha approchée avec la fonction TABLE de la calculatrice
Démontrer que si $0 < x < 1$ alors $K < f(x)< K'$
Il faut justifier que la fonction est continue et croissante. Puis on calcule $f(0) < f(x) < f(1)$

Analyse de deux courbes f et g

Identifier deux courbes sur un graphe
S'aider d'une part des sens de variations, des limites
Si cela ne suffit pas, repérer les points d'intersections avec l'axe des abscisses, ce qui consiste à résoudre f(x)=0
Positions de deux courbes par fonctions
Si C2 est au-dessus de C1 alors f2>f1 et f2-f1>0
Trouver les coordonnées du point d'intersection de deux courbes
Résoudre l'équation $f(x_0)=g(x_0)$
Déterminer l'écart maximum entre deux courbes
On dérive la fonction $f(x)-g(x)$ afin de déterminer son maximum
Trouver la distance de deux points MN
Résoudre $|f(x_m)-g(x_n)|$

Aires et intégrales

L'intégrale de f(x) sur un intervalle désigne l'aire avec l'axe des abscisses.

Aire Integrales 1

L'intégrale de f(x) - g(x) désigne l'aire délimitée par les deux courbes

Aire Integrales 2

Suites de fonction

Il arrive d'étudier une série de courbes et de fonctions $f_1(x)$, $f_2(x)$, etc.

Il s'agit d'une suite de fonction $f_n(x)$ qui s'exprime en fonction de l'entier n et du réel x.

La convergence d'une suite de fonctions donne une fonction.

Exemple : $$f_n(x)=\frac{1}{n}+x$$ $$\lim_{n \to \infty} f(x) = x$$

Résolutions de questions