Méthode de calculs

La majorité des questions de l'épreuve de mathématiques consiste à faire des calculs. Avec un peu d'entraînement, vous n'aurez aucun mal à résoudre ces questions, vous irez même plus vite.

Cette page est votre boîte à outils, vous devez maîtrisez toutes ces méthodes et calculs (ou les rentrer dans la calculatrice). Ils vont servir à tout type d'exercices.

Méthodes générales

Comparaison d'inégalités

Croissance de l'intégrale : Si une fonction est continue et positive, l'intégrale d'une fonction conserve l'inégalité

Fonctions composés

Comparaison de limite : Si f est continue, la fonction de la limite

Diviser pour régner

Principe fondateur pour les calculs d'intégrales, de dérivées et de limites

Changements de signe

Moins moins égal plus : $a-(b-c) = a-b+c$

Une inversion de signe modifie le sens d'une inégalité : $-a\leq b \Leftrightarrow a \geq -b$

Arithmétique et divisibilité

Nombres divisibles par 3

La somme des chiffres est divisible par 3

Exemples : 27; 420

Nombres divisibles par 5

Le dernier chiffre est 5 ou 0

Exemples : 15; 870

Nombres divisibles par 9

La somme des chiffres est égale à 9

Exemples : 81; 621

Calcul de limites

Pour le calcul de limite, il faut connaître les comportements des fonctions standards : $x^n$, ln(x), $e^x$, sin(x), cos(x), etc.

Pour gérer les cas d'indécisions, il existe trois techniques de résolutions :

1. Diviser l'expression en sommes indépendantes

   A utiliser pour des fractions par exemple :
   $$\frac{1+ln(x)+3x}{x} = \frac{1}{x}+\frac{ln(x)}{x}+\frac{3x}{x}$$

2. Théorème des gendarmes ou d'encadrement

   On trouve deux fonctions g(x) et h(x) d'encadrement pour que $$g(x) \le f(x) \le h(x)$$

   Ces deux fonctions doivent avoir la même limite a, ce qui permet de déduire la limite de f par encadrement. $$\lim_{x \to ?}g(x) \le \lim_{x \to ?}f(x) \le \lim_{x \to ?}h(x)$$

   Ce théorème marche particulièrement bien avec sinus et cosinus car on a : $-1 \le sin(x) \le 1$

3. Théorème des croissances comparées

   Cela concerne davantage les fonctions x, ln(x) et exp(x). Il existe une hiérarchie entre elles : $$ln(x) < x < exp(x)$$

   Lorsque deux de ces fonctions sont présentes dans une expression, on tient compte de la plus importante pour calculer la limite.

   Exemples :
   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$$ $$\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$$

Système de deux équations à deux inconnues

$$\begin{cases} 3x+2y=5 &(1)\cr x-3y=9 &(2) \end{cases}$$

1. On déduit $y$ de (1) $$y=\frac{5}{2}-\frac{3x}{2}$$
2. On remplace $y$ dans l'autre équation (2) $$x-\frac{15}{2}+\frac{9x}{2}=9$$ $$\frac{11x}{2}=\frac{33}{2}$$ $$x=3$$
3. On remplace la valeur de $x$ dans l'équation déduite à l'étape 1 $$y=-2$$

Equations différentielles

Une équation différentielle possède une seule inconnue $y$ en relation avec sa dérivée $y'$

On est en mesure de résoudre les équations de ce type :

$$y'+ay=0 \; \longrightarrow \; y = K.exp(-a.x)$$

Equations au second degré (trinôme)

Un polynôme possède une seule inconnue $x$ en relation avec les puissances de celui-ci $x^n$

$$ax^2+bx+c=0$$

Résolution :

1. Calcul du discriminant ($\Delta$) $$\Delta=b^2-4ac$$
2. Solutions selon le signe de $\Delta$
   • $\Delta>0$ : $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
   • $\Delta=0$ : $$x_0=\frac{-b}{2a}$$
   • $\Delta<0$ : pas de racines réelles mais complexes $$x_1=\frac{-b-i\sqrt{\Delta}}{2a} \;\;\; x_2=\frac{-b+i\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Propriétés supplémentaires :

• Deux polynômes sont égaux si leurs coefficients sont identiques
• Forme canonique : $a(x+\frac{b}{2a})^2−\frac{b^2−4ac}{4a^2}$

Calcul d'intégrales - Intégration par parties

$$\int u(x).v'(x) \, dx = u(x).v(x) - \int u'(x).v(x) \, dx $$ $$\int uv'=uv-\int u'v$$

Exemple :

$$\int^e_1 x.ln(x) \, dx$$

On décompose l'intégrale en un produit uv'. Le choix du u et v' est stratégique. le but est de réduire au plus simple la deuxième intégrale $\int u'v$ $$\begin{cases} u=ln(x) & \longrightarrow u'=\frac{1}{x} \cr v'=x & \longrightarrow v=\frac{x^2}{2} \end{cases}$$

On utilise la formule pour réécrire l'intégrale en deux parties : $$\begin{aligned} \int^e_1 x.ln(x) \, dx &= \begin{bmatrix}\frac{x^2.ln(x)}{2}\end{bmatrix}^e_1 - \int^e_1 \frac{x}{2} \, dx \cr &= \begin{bmatrix}\frac{x^2.ln(x)}{2}\end{bmatrix}^e_1 - \begin{bmatrix}\frac{x^2}{4}\end{bmatrix}^e_1 \cr &= \frac{e^2+1}{4} \end{aligned}$$

Notes :

• En général, si on a un produit avec $x$ dans l'intégrale principale, alors on pose $v=x$ pour simplifier la nouvelle intégrale.
• Ne pas oublier de découper l'intégrale en plusieurs sommes si la résolution est difficile (comme $\frac{x^2-3x}{2}$).
• Pour les cas les plus complexes, il peut y avoir 2 intégrations par parties successives.

Logarithmes et exponentielles

Exponentielle sur $\mathbb{R}$

Exponentielle se dérive en lui-même ${e^x}'=e^x$

La constante réel $e \simeq 2,718$

Logarithme népérien sur $\mathbb{R}-{0}$

Fonction inverse de l'exponentielle $ln(e^x)=x$

Permet de résoudre des questions de type : "Exprimer n lorsque $x^n=k$", on écrit alors $n=\frac{ln(k)}{ln(x)}$

Valeurs stratégiques $ln(1)=0$ et $ln(e)=1$

y=x (en noir) est l'axe de symétrie entre exp(x) (en rouge) et ln(x) (en bleu)

Logarithme décimal sur $\mathbb{R}+*$

S'utilise beaucoup en sciences physiques où l'on manipule les puissances de 10

$$x=10^y \; \longrightarrow \; y = log(x)$$

$$log(x)=\frac{ln(x)}{ln(10)}$$

Manipulation des puissances et exponentielle

Les puissances et les exponentielles se manipulent de la même façon :

Manipulation des logarithmes

Les deux logarithmes (log et ln) se manipulent de la même façon :