Partons sur les bonnes bases

N’allez pas plus loin si vous ne maîtrisez pas ces connaissances basiques. Espérons qu’il ne s’agisse que d’un rappel… En tout cas, il est toujours bon de rappeler ces évidences, pour que sa mémoire reste structurée et organisée.

Algèbre

Fractions

numeˊrateurdeˊnominateur\frac{numérateur}{dénominateur}

Géométrie

Droites et segments

Droite (AB)
N’a pas de longueur et passe par A et B, illimité des deux côtés
Segment [AB]
Délimité par les extrémité A et B
Demi-droite [AB)
Possède une origine A et est illimité d’un seul côté en passant par B

Les triangles

Types de triangles

La somme des angles d’un triangle vaut 180° (π\pi)

Triangle rectangle
Possède un angle droit de 90° (π/2\pi/2).
L’hypoténuse est le segment opposé à l’angle droit.
Triangle isocèle
Possède deux segments de même longueur.
Triangle équilatéral
Possède trois segments de même longueur et trois angles égaux à 60° (π/3\pi/3).
Triangle scalène/quelconque
Triangle qui ne possède aucun segments de même longueur, et sans angle droit.

Droites particulières d’un triangle

Médiane
Droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé
Les trois médianes se coupent au centre de gravité, sa distance avec les trois sommets est la même.
Triangle Medianes
Hauteur
Droite qui relie un sommet au côté opposé en formant un angle droit
Les trois hauteurs se coupent à l’orthocentre
Triangle Hauteurs
Médiatrice
Droite qui passe par le milieu d’un segment en formant un angle droit
Les trois médiatrice se coupent au centre du cercle circonscrit, cercle passant par les trois sommets
Triangle Cerclecirconscrit
Bissectrice
Droite qui partage un angle de sommet en deux angles de même mesure
Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit
Triangle Cercleinscrit

Triangle rectangle

Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA (prononcé “socatöa”)

sin(θ)=opposehypotenusesin(\theta)=\frac{oppose}{hypotenuse}
cos(θ)=adjacenthypotenusecos(\theta)=\frac{adjacent}{hypotenuse}
tan(θ)=opposeadjacenttan(\theta)=\frac{oppose}{adjacent}
tan(θ)=sin(θ)cos(θ)tan(\theta)=\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}

Théorème de Pythagore

Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

Pythagore

Théorème de Thalès

DE et BC sont parallèles alors :

ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Thalès

Cercle trigonométrique

Propriétés d’un triangle rectangle avec une hypoténuse à 1 :

  • x=cos(θ)x=cos(\theta)
  • y=sin(θ)y=sin(\theta)

Les repères de plan

Un repère (O,i,j)(O,\vec{i},\vec{j}) est :

Orthogonal
si i\vec{i}et j\vec{j} sont orthogonaux, formant un angle droit
Orthonormé
si i\vec{i}et j\vec{j} sont orthogonaux et de même norme, i=j||\vec{i}||=||\vec{j}||
Direct
si (i;j)=π/2(\vec{i};\vec{j}) = {\pi}/{2}
Indirect
si (i;j)=π/2(\vec{i};\vec{j}) = -{\pi}/{2}

On distingue trois types de repères de plan qui correspondent à trois parties du programme :

Repère orthonormé (O,i,j)(O,\vec{i},\vec{j})
Utilisé pour les courbes et études de fonctions f(x)
Un point M(x,y) possède les coordonnées x (abscisse sur i\vec{i}) et y (ordonnée sur j\vec{j})
Repère orthonormé (O,i,j,k)(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})
Utilisé pour la géométrie dans l’espace (trois dimensions)
Un point M(x,y,z) a trois coordonnées dans l’espace
Repère orthonormé dans le plan complexe (O,u,v)(O,\vec{u},\vec{v})
Utilisé pour les représentations dans le plan complexe (en introduisant i2=1i^2=-1)
Un point M(z) possède une affixe z

Analyse / Etude de fonctions

Courbes et fonctions

Tangente
La tangente à une courbe en un de ses points est une droite qui « touche » la courbe au plus près au voisinage de ce point. La courbe et sa tangente forment alors un angle nul en ce point.
Asymptote
L’asymptote est une tangente à l’infini. Lorsque l’abscisse ou l’ordonnée tend vers l’infini, la distance entre la courbe et l’asymptote tend vers 0.

Tangent-2D

Continuité

Fonction continue
Une fonction f est continue sur II ssi xI,f(x)\forall x \in I,\quad f(x) admet une valeur.
Fonction monotone
Une fonction est monotone sur un intervalle, si elle est croissante/décroissante. On parle de strictement monotone/croissante/décroissante.
Théorème des valeurs intermédiaires
Une fonction continue sur un intervalle qui prend deux valeurs m et n, prend également toutes les valeurs intermédiaires.
Théorème de la bijection
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image. Toute valeur de l’intervalle admet une solution unique.

Fonctions composés

Propriétés des fonctions composées fgf \circ g
Si f croissante et g croissante alors fgf \circ g croissante.
Si f décroissante et g décroissante alors fgf \circ g croissante.
Si f croissante et g décroissante alors fgf \circ g décroissante.
Si g croissante et f décroissante alors fgf \circ g décroissante.

Dérivées et primitives

Dérivée
D’un point de vue géométrique, c’est le coefficient directeur (pente) de la tangente d’une courbe en un point.
Primitive
Anti-dérivée, Fonction F définie sur I telle que :
xI,F(x)=f(x)\forall x \in I, \quad F'(x) = f(x)

Lettres et symboles

Ensembles de définition

LettreEnsembleQuelques valeurs
N\mathbb{N}Entier naturels0, 8, 16, 103
Z\mathbb{Z}Entiers relatifs-23, 0, 14, 28
Q\mathbb{Q}Rationnels (fractions de nombres entiers)1, 5/4, -214/34
R\mathbb{R}Réels-1.2114, 23, 3656.24
C\mathbb{C}Corps des nombre complexes-6.6, 21, 3i, 4i+6.7

Lettres grecs

Lettre grecNom
α\alphaAlpha
β\betaBeta
γ\gammaGamma
δ\delta (maj. Δ\Delta)Delta
ϵ\epsilonEpsilon
θ\thetaTheta
λ\lambdaLambda
μ\muMu
π\piPi
ρ\rhoRho
σ\sigma (maj. Σ\Sigma)Sigma
τ\tauTau
ϕ\phiPhi
ω\omega (maj. Ω\Omega)Omega

Utilisations usuelles des symboles

SymboleUtilisation usuelle
α,β,γ\alpha, \beta, \gammaSolutions réelles sur un intervalle donné
Δ\DeltaDiscriminant d’un polynôme
π\pi~3.14, utilisé en trigonométrie
σ\sigmavariable
θ\thetaAngle sur le cercle trigonométrique
A, B, C, DPoint géométriques
A’, B’, C’, D’Images/Transformés de points
I, JMilieux de segment
M, NPoints aléatoires en géométrie
P, QMatrices
f,g,hFonctions
f’,g’,h’Fonctions dérivées
F,G,HFonctions primitives
iUnité imaginaire
kConstante réel ou entier relatif
nEntier naturel
xAbscisse, variable
yOrdonné, solution de fonction affine
zNombre complexe, coordonnée dans l’espace